Wenas...
Yo tengo 2 posibles teorias...
Una, que puede ser de la bateria, como decis, que este cascada o el control de carga no indique bien el estado de la bateria y se quede al 1%. Prueba al encender solo con el cargador, si arranca bien el XMB, a contuniacion introduce la bateria y que se cargue encendida durante unos minutos, luego comprueba que el indicador de carga valla subiendo el nivel de estado, si no lo hace es la Bateria.
La segunda...
Me gustaria que respondieses a esta Pregunta: La supendiste en el momento de realizar la carga de datos desde el UMD o MS o estando libre de carga de datos y en el XMB??
Es posible que cuando suspendistes la PSP, si es asi, puede que tengas algun bloque de la NAND corrupto en la zona de la Flash0 o la Flash1 y por eso se apague en el momento de arrancar el XMB.
Tendrias que comprobar con una Bateria Pandora y una MS Magica con el Despertar del Cementerio V8 (DCv8) y realizarle el Test M33 (Dile a alguien haber si te puede prestar su Bateria Pandora y una MS con el DCv8 o poder hacerlo tu mismo con otra PSP sana Pandorizable y Customizada). Si carga correctamente el Test M33, con la utilidad "nandTool 0.40 Final NEO" (de mi Firma), comprueba que no tenga bloques dañados, si tiene bloques dañados, te tocara cambiar la NAND de otra "PSP Slim", solo "Slim Customizable", busca tutos de como hacerlo con el "DCv8", luego formatear las 4 Flashes e instalar "Original Firmware 5.00" mismo del DCv8, comprobar que enciende correctamente tanto en cargador como en Bateria 100% cargada. Realizar de nuevo una "copia de la NAND" de tu PSP ya libre de Bloques Dañados y luego pasar a Custom Firmware de nuevo. Si tras comprobar que no tiene bloques dañados con el nandTool 0.40 Final NEO, como dice juaquix, vuelve a instalarle de nuevo el "CFW 5.50 GEN-D3 de su tuto", entra en el "Recovery Menu" y "Formatea la Flash1 y reset settings", reinicia y ya te deberia de funcionar la PSP, por un metodo o por otro...
Perdon por el tocho...
me he dejado mis deditos escribiendo una posible solucion factible... Si alguien da algun detalle mas, que lo diga...
Prueba y nos comentas...
Saludos...