Debes tener el consentimiento del interesado, en este caso el que descuelga, para poder tener una copia lícita y valida ante las competencias autoritarias. Sino te pueden negar la prueba y encima te puede caer una sanción por el derecho público (derecho administrativo) que es el que regula las relaciones entre administración y ciudadanos.
Aunque tú formes parte de la conversación los datos que se tratan pueden ser de carácter personal para ambas partes y el instrumento que lo gradua es la LOPDP.
En resumen, curate en salud y avisa de que vas a grabar y que si no te quieren atender por ello que te pasen con alguien que si lo quiere hacer. Si se niegan avísales con reclamación y a unas malas intenta llegar a un acuerdo.
De todos modos siempre puedes grabarlos y no decir nada, pero sin poder hacer nada con esa conversación dentro de lo legal. Quizás alguien que entienda de este tipo de casos debería aconsejarte mejir porque lo que yo te he dicho aquí forma parte de la LOPDP de lo que sé sobre derechos en los datos personales y todo eso.