A ver, tienes un lío.
La familia DS/DSi pertenece a la séptima generación de consolas (Tiempos de la X360/PS3/Wii)
-DS Fat (la primera que salió).
-DS Lite
-DSi
-DSi XL
Luego le sigue la familia 3DS/2DS, perteneciente ya a la octava generación (Tiempos de la XONE/PS4/Switch/Wii U)
-3DS
-3DS XL
-2DS
-New 3DS
-New 3DS XL
-New 2DS XL
Como habrás podido deducir, un juego de la familia 3DS/2DS no lo podrás jugar en ninguna DS/DSi, es como si quisieras meter un juego de PS4 en una PS3.
Por contra, los juegos de la familia DS/DSi sí son compatibles con cualquier consola de la familia 3DS/2DS al ser retrocompatibles estas últimas.
Las flashcards para DS venden digibayz y valen como 10 euros pero no traen backups (estos los tienes que conseguir tú, el cómo los consigas es cosa tuya) y tampoco memoria, tienes que comprarla tú. Como te habrás dado cuenta, la puedes meter también en cualquier 3DS/2DS
Las flashcards de 3DS/2DS funcionan igual, pero estas valen mínimo 70 euros y, como habrás podido deducir, no funcionan en una DS/DSi. Yo esta opción no la recomiendo porque el CFW Luma se instala GRATIS y tienes muchísimas mas funcionalidades que la flashcard de 3DS.