Entiendo que el colegio es privado, porque los públicos que yo sepa no pueden hacer ese tipo de cosas alegremente.
Sobre el cobro, o bien te hacen un contrato, en el caso de que trabajaría por cuenta ajena X horas al mes o bien, te das de alta como autónomo o empresa (lo habitual es autónomo). Que yo sepa, no hay más opciones.
Dentro de autónomo puedes cobrar de muchas maneras, pero la más recomendable es por horas de trabajo. Sobre el precio, pues varía y mucho depende de donde estés, lo que hagas, etc. A ojo, sacando la bola de cristal 35 euros horas + IVA en adelante, no lo veo mal.
Tambien sería conveniente, si solo vas a trabajar para ellos que te asegurasen un mínimo de horas, ya que si en un mes, solo te requieren dos horas, te comes la cuota de autónomos con patatas
Con un solo cliente las gestiones no son una locura, pero mucha gente recurre a una gestoria.
Harían falta más datos para saber cuánto cobrar, que haces exactamente, cuantas horas planean, donde vives, etc.