El trámíte sería cambio de titularidad en trafico. Necesitarías la documentación del coche, dni del vendedor y comprador e impreso de transferencia (lo tienes en la página de la DGT). Dependiendo de la antigüedad del vehículo tendrás que pasar por hacienda para pagar el impuesto de transmisiones patrimoniales (en Navarra si el vehículo tiene mas de 10 años no hay que pasar por hacienda, en otras comunidades lo desconozco)
Y como te han comentado, es conveniente sacar una nota simple del registro de bienes muebles o de la DGT para verificar que el vehículo no tenga cargas. Si hay anotada reserva de dominio no podrás hacer el cambio de titularidad.