Primero mira si en consolas alguna tiene protección HDCP (y si puedes deshabilitarla, o tendrás que pillar determinados Splitter chinos que le hacen la trampa, en PS4 se puede deshabilitar, pero dejaras de poder ver determinado contenido mientras HDCP esté deshabilitado, me imagino que Blurays de vídeo y servicios de Streaming de pago online)
Si la pillas USB te recomiendo que sea compatible con el estándar UVC. Lo de dejarla permanentemente conectada no le veo problema alguno. Creo que ya Avermedia desde la LGP2 en adelante ya son UVC compatible (las ventajas es que sí es plug & play, es multi plataforma Windows / Linux / Mac y no vas a estar atado a unos drivers "solo Windows" y que un día podrían estar obsoletos o no funcionar en futuros S.O.)
Para grabar el mismo PC dónde está la capturadora no tiene mucho sentido, ya que trabajo no le ahorra (la compresión de vídeo va a recaer en el CPU y/o GPU igualmente), y programas que graben el escritorio o juegos de PC sin capturadora hay y funcionan bien. Yo creo que la usarás solo para las consolas.