Sinceramente, pasa de homebrews, plugins o SATs.
A mi, hasta hace muy poco tambien me pasaba lo mismo. Juegos como Monster Hunter eran totalmente injugables. JoySense palio un poco la situacion, pero el problema fue a cada vez a mas, hasta ser injugable. Casi di por perdida la PSP... hasta que vi los juegos que se avecinaban (LittleBigPlanet, MotorStorm...) y decidi hacer algo al respecto.
Total, que un dia me compre un destornillador pequeño, de esos sin mango a 1€ una cajita con varios tamaños y en unos minutos, desmonte la carcasa de la PSP y frote con un bastoncillo de las orejas una especie de goma transparente que une al stick con la placa. La volvi a montar con algo de cuidado y, hasta hoy, no me ha dado ningun problema, y si lo vuelve a dar, otra vez a abrir la carcasa.
Cuando me fallaba el stick tiraba mucho de menos la PSP, aquel dia fue como si renaciera jajajaja.