Bueno aqui entran en juego 3 posibilidades:
-el conector de tu xbox
-el cable(si es nuevo es el menos probable)
-el router(no indicas el modelo, si da conexión por wifi a mas dispositivos, si lo has trasteado,...)
Sí solo te pasa con la xbox, ya que con el PC(¿lo conectas por wifi o por cable?) no tienes problemas.
Puede que la conexión de la xbox sea la culpable que por temperatura o subidas de tensión haga algún extraño con el cable.(Lo veo lo menos probable)
Pero no descartaría que el router sea el que limite las conexiones y si se conectan muchos aparatos via wifi, sea tu xbox la que sufra las consecuencias.
SOLUCIONES:
-Adquirir el adaptador WIFI para xbox
-Probar otro router
-Comprobar todas las conexiones, que no esté tirante, que no esten sueltas, etc..
-Seguir comprando cables nuevos cada 2 días (es broma)
PD: Cuantos mas detalles des mas fácil será ayudarte.