La factura debería de estar a tu nombre o tener algún documento que acredite su venta....Pero vamos, si en la tienda no te han dicho nada, pues mejor que mejor. La tramitación de la garantía puede hacerla el vendedor (Vodafone) o llevarla tu mismo al SAT. Si te ponen problemas, yo en tu caso yo buscaría un SAT oficial que repare en garantia, pero que no sea el propio de Sony Ericsson, ya que a los SAT lo que les interesa es reparar, si no lo hacen no cobran por servicio. Por lo que por norma a ellos igual les da que el móvil esté libre o no, ya que van a cobrar igualmente por el servicio a Sony Ericsson.
En cuanto a liberaciones yo he leido que las compañias no se hacen cargo de móviles liberados. También he leido de algún usuario que no es motivo para negarse a reparar un móvil en garantía, de hecho Vodafone libera móviles. Pero por ley no se como estará, seguramente alguien habrá tenido tu mismo problema y lo habrá comprobado. ¿No tienes otra bateria para probar ni puedes hacerte con una? Lo digo porque antes de meterte en berenjenales (en caso de que Vodafone te ponga problemas) puedes probar con otra bateria, porque tiene toda la pinta de ser problema de bateria, y es posible que en esta solo tengas 6 meses de garantía (en la factura es posible que te lo indique)