[TRIGONOMETRÍA] Dudas..

El área de un pentágono es el perímetro*apotema/2

El perímetro es la suma de los lados, supongo que eso esta claro
La apotema es la perpendicular desde el centro del pentágono hasta el punto medio de uno de los lados.
La apotema la puedes calcular a partir del lado y el teorema de pitágoras (sabiendo que la hipotenusa tiene la misma longitud que el lado), y sabiendo que si trazas líneas desde el centro del pentágono a los vértices, obtienes 5 triangulos equiláteros.

No se si me he explicado bien.

1- Sobre lo del pentagono creo recordar que se puede dividir en triangulos equilateros (si esto no es asi no tengo ni idea) con lo que tendrias 5 triangulos con los lados de 10 centimetros. Abajo tienes una guia para encontrar la solucion.



Si necesitas mas ayuda te puedo hacer un dibujo con el paint, mandame un MP



2- Te doy la idea de encontrar la longitud de la circumferencia




no se si esto es asi asi k no te fies muxo de mi tampoco XD

Gracias a los 2!! , ya lo tengo.

A mi me parece que la regla de tres esa con la circunferencia no vale, porque 50m es la longitud de la cuerda, no del trozo de circunferencia que corta. Vamos, que esa regla de tres va a dar un resultado erróneo.

Más bien diría que para calcular el ángulo hay que utilizar las relaciones trigonométricas ( inversas en este caso ) que hay en un triangulo rectángulo. Ya sabes, usar el seno, coseno y tangente.

Pista: uniendo los puntos del arco con el centro de la circunferencia, se forma un triángulo isósceles, que puedes partir en dos triángulos rectánculos. Con pitágoras de nuevo calculas el lado que te falta y a partir de ahi utilizas arcsen, arccosen y arctan y ya tendrás el ángulo que buscas.

El 2.-
Uniendo el centro de la circunferencia con los puntos en donde la cuerda corta a la circunfrencia obtendras una triangulo isosceles con dos lados iguales entre sí e iguales al radio (100m) y otro lado de 50m (la propia cuerda), ¿porque esto es así? la explicación es sencilla las dos puntos en donde corta la cuerda pertenecen a la circunferencia, y la circunferencia es por definición el lugar geométrico de los puntos están a una distancia r (la llamamos radio) de un punto dado (el centro). Entonces los segmentos que unen el centro de la circunferencia con estos dos puntos son iguales en longitud. Si realizamos una perpendicular con pie en el lado de 50 m y que pase por el centro entonces el triangulo queda partido en dos triangulos rectangulos iguales y resulta que esa recta altura sera precisamente la bisectriz del angulo pedido (la demostracion de esto es trivial, no lo pongo porque me enrollo), por lo que basta obtener en un triangulo rectangulo el angulo que es la mitad del pedido. Esto lo puedes hacer utilizando la relación coseno. Bueno me he enrrollado mucho pero ha sido para explicar bien, en la practica esto se despacha con un dibujito y una linea texto

Será que soy informático, pero me gustan las soluciones sencillas y elegantes (aunque no siempre pueda aplicarlas ) y por eso se me ocurre que si el radio es 100 unidades (las que sean) y sabiendo que un radián es el ángulo delimitado por un arco que tiene de longitud el radio de la cirfunferencia, tenemos que para dicha circunferncia la longitud del arco que delimita al radián es 100.
Como el arco del que te piden calcules su ángulo es 50, la solución es que el ángulo mide medio radian.
En grados 180 grados son PI radianes y como es medio radián la solución es 180 /2PI, que son 28.65 grados aproximadamente.

La putada de esta resolución es que no usas trigonometría para nada, pero si no especifican en el exámen, es problema de ellos, lo normal es que tú busques la solución más rápida siempre que sea correcta.

Tornado, tu solución es errónea porque la cuerda está curvada, luego la distancia entre los puntos donde la cuerda "corta" a la circunferencia es menor que la longitud de la cuerda. De hecho me parece que los tiros de resolver ese problema con trigonometría van por calcular dicho segmento.


Y ojete con el 1, que la longitud del lado de un pentágono regular es distinto del RADIO, así que formas triángulos ISÓSCELES no equilateros.
La solución a esto creo que pasa más bien porque los ángulos de un pentágono regular suman 540 grados, / 5 = 108.
Si tomas el triángulo rectángulo formado por el centro, el radio y la apotema, puedes calcular el valor de los tres ángulos que lo forman :
90º + (108/2)º + xº = 180º , es decir

a
|\
| \
| \
----
b c

a = 36
b = 90
c = 54

Con eso y sabiendo que la longitud de bc vale 5, y que ab (la apotema) tiene algo que ver con el seno de c, deberías poder hallar ab y usar la fórmula para calcular el área.
90º
54º
36º

zheo escribió:Será que soy informático, pero me gustan las soluciones sencillas y elegantes (aunque no siempre pueda aplicarlas ) y por eso se me ocurre que si el radio es 100 unidades (las que sean) y sabiendo que un radián es el ángulo delimitado por un arco que tiene de longitud el radio de la cirfunferencia, tenemos que para dicha circunferncia la longitud del arco que delimita al radián es 100.
Como el arco del que te piden calcules su ángulo es 50, la solución es que el ángulo mide medio radian.
En grados 180 grados son PI radianes y como es medio radián la solución es 180 /2PI, que son 28.65 grados aproximadamente.

La putada de esta resolución es que no usas trigonometría para nada, pero si no especifican en el exámen, es problema de ellos, lo normal es que tú busques la solución más rápida siempre que sea correcta.

Tornado, tu solución es errónea porque la cuerda está curvada, luego la distancia entre los puntos donde la cuerda "corta" a la circunferencia es menor que la longitud de la cuerda. De hecho me parece que los tiros de resolver ese problema con trigonometría van por calcular dicho segmento.


Y ojete con el 1, que la longitud del lado de un pentágono regular es distinto del RADIO, así que formas triángulos ISÓSCELES no equilateros.
La solución a esto creo que pasa más bien porque los ángulos de un pentágono regular suman 540 grados, / 5 = 108.
Si tomas el triángulo rectángulo formado por el centro, el radio y la apotema, puedes calcular el valor de los tres ángulos que lo forman :
90º + (108/2)º + xº = 180º , es decir

a
|\
| \
| \
----
b c

a = 36
b = 90
c = 54

Con eso y sabiendo que la longitud de bc vale 5, y que ab (la apotema) tiene algo que ver con el seno de c, deberías poder hallar ab y usar la fórmula para calcular el área.
90º
54º
36º

meeeeeeec !!!
Error !!!

El dato que le dan es la CUERDA, no el ARCO. (no existen las cuerdas curvadas )

La solución que sugerí yo y la que concretó Tornado después es la correcta.

Tu solución (que es cierto es sencilla y elegante) sería correcta si le hubiesen dado la longitud del arco. Pero, como tú bien dices, en ese caso no utilizaría trigonometría, que es de lo que se trata.

Por otro lado, cierto y muy bueno el apunte sobre el ejercicio 1. Efectivamente, el pentágono NO está formado por 5 triángulos equiláteros. Lo confundí con el hexágono, que sí está formado por 6 equilateros.

Saludos.

Juer no me di cuenta de lo de la cuerda. Que fallo. Pues menos mal que me lo dijiste porque estuve rucado intentando hacer el ejercicio usando trigonometría y no era quien, porque -lógicamente ahora que me lo indicas- me faltaban datos
Que desilusión, con lo fácil y elegante que quedaba

Pero eso si, con el pentágono tuve que tirar de wikipedia para cerciorarme jaja.

El pentágono lo puedes triangular en 5 isosceles iguales, en cada de uno de éstos dos ángulos son iguales y la suma de los dos es 180-360*1/5, el angulo desigual es de 360*1/5

T0RN4D0 escribió:El pentágono lo puedes triangular en 5 isosceles iguales, en cada de uno de éstos dos ángulos son iguales y la suma de los dos es 180-360*1/5, el angulo desigual es de 360*1/5

Exacto. Un pentágono no puede dividirse en 5 triángulos equiláteros.

Vayamos al desarrollo completo. Si dividimos el pentágono en 5 triángulos uniendo el centro con los vértices, tendremos 5 triángulos iguales. Los ángulos son los que dice T0RN4D0: el que parte del vértice es 360º/5 = 72º, ya que dividimos una circunferencia completa en 5 partes iguales. Dado que los ángulos de un triángulo suman 180º, los otros dos juntos suman 108º, y por ser iguales cada uno tiene 54º.

Por lo tanto tenemos 4 elementos del triángulo: un ángulo de 72º, dos de 54º, y un lado de 10 m opuesto al ángulo de 72º. Para hallar el área podemos usar varias formas como la fórmula de Herón, pero el problema pide usar trigonometría. Podemos hallar los otros lados por el teorema del seno: sen 72º / 10 m = sen 54º / x m. Los dos lados desconocidos miden aproximadamente 8.5 metros.

Con todos estos elementos podemos calcular la altura, y con ella el área del triángulo, y con ella el área del pentágono. La altura se obtiene proyectando uno de los segmentos que unen el centro con un vértice (el lado de 8.5 hallado) sobre la apotema. El ángulo que forman ambos será la mitad del ángulo entre los dos segmentos del triángulo que parten del centro (el de 72º). Por lo tanto, altura = 8.5 * cos 36º, 6.88 aproximadamente. El área será 10 * 6.88 * 5 /2 = 172 metros cuadrados.