Un solo alojamiento con varias web y que diferentes dominios apunten a cada una de ellas

A la pregunta, sí, se le llama virtual hosting.

Y aunque no estoy muy puesto, no sé si habrá muchos servidores que permitan eso.

Si tiras de uno dedicado y le instalas el servidor web que tú quieras y lo configuras a tu manera, entonces, sí.

Hay alojamientos que no permiten mas de un dominio alojado (normalmente son mas laxos con los sub.dominios), otros alojamientos o planes superiores permiten 3 o 5 dominios alojados, eso es lo habitual. Ya si te vas a dedicados y tal mas caros, no suele haber tantas limitaciones. Tendrás que revisar lo que ofrece cada hosting y valorar por ti mismo donde te conviene contratar.

Entiendo lo que quieres hacer. Yo tengo contratado un hosting que me admite varios dominios pero logicamente es mas caro que uno con un solo dominio.
No quieres meter mas de un dominio en un solo hosting ya que los demas dominios estaran en sitios gratuitos y de ahi redireccionan a una carpeta del tuyo.
Creo que se trata de aprovechar un hosting de un solo dominio para tener los datos de varios dominios. En principio no creo que la empresa de hosting se de cuenta ni le afecte.

"con un servicio de dominios gratuitos poder apuntar a cada una de ellas."
Esto es lo que no tenga tan claro. ¿se puede apuntar a una carpeta?

Si ya tienes el hosting de un dominio haz la prueba. Y si no lo tienes si quieres mandame un privado y hacemos una prueba de apuntar a una carpeta en el mio.
Un saludo