Más abajo te escribo unas notas para que entiendas lo que puedes y no puedes hacer con la wii al respecto. Pero antes te quiero comentar que la solución no está en la wii, es mucho más fácil. Tienes que conectar directamente tu TV a la tarjeta LAN de tu portátil (si es que la tiene) a través de un cable cruzado RJ45 (también llamado cable modem RJ45 o Xeon) y en la configuración de red del TV, donde pone "Puerta de enlace o ruta predeterminada de entrada a internet" pones la misma que la IP manual que hayas asignado a la tarjeta LAN en tu portátil (ojo no la tarjeta Wifi). Resto de opciones las configuras como siempre tanto en el pc como en el tv, es decir, la IP privada dentro del rango que este configurado el router (no repitas ips, es decir, que la TV tenga una, el wifi de tu portatil otra y la tarjeta lan de tu portatil la que uses como puente entre la TV y el portátil. Todas distintas), la "máscara de subred" la que suelas poner (255.255.255.0), las dns de ono o las de opendns (esto da igual unas que funcionen). En ocasiones, el cable cruzado no funciona y funciona un cable convencional RJ45, compra los dos y tenlos a mano. Esto resuelve tu problema seguro, es facilísimo.
NOTAS SOBRE LA WII: El adaptado lan de la wii es para dar internet a la wii vía router o vía pc portatil como puente wifi al router. Es decir, no puedes conectar el TV a la wii para tener internet en el TV. El adaptador lan lo gestiona la wii para que tenga internet para juegos online, para el canal tienda o para el software homebrew que lo precise.
¿que es lo que quieres hacer realmente? ¿quieres tener internet en la TV y/o en la wii?
El adaptador cuesta en ebay unos 10,99€ y funciona a la perfección, pero solo sirve para lo que te comento. Por ejemplo, yo tengo el mismo problema que tú, ya que en mi salón la tarjeta wifi de la wii no va bien, en cambio la de mi portatil va bien, por lo que conecto el adaptador lan de la wii a mi portatil a través de un cable RJ45 normal (ojo no cruzado) (configurando previamente el portatil como puente, es bastante fácil) y puedo ver via wifi de mi portátil películas que tengo en otro ordenador donde está el router a través de una aplicación homebrew llamada WiiMC.
Pero la wii no puede hacer de puente entre su wifi y el televisor de tu casa porque el System Menu solo gestiona una conexión o la wifi o el adaptador router. El que hayas definido en la configuración de la wii como prestablecido.
Esto que planteas lo puedes resolver de otra forma, existe un par de versiones de linux (Xwhiite y Whiite Lenny) instalables en la SD de la Wii, con ellas puedes hacer que la wii sea un ordenador normal (salvando las diferencias de hardware, claro está), es decir, puedes usar el adaptador lan como puente (eth0) y el wifi de la wii como receptor de la señal de internet que viene de tu router (wlan0), configurando este linux podrías en teoría hacer la gestión que pretendes. Yo lo he usado y el wifi funciona, lo que no se decirte si detecta el adaptador lan (me imagino que sí) no lo he probado.
Saludos.