Una Xbox 360 viene preparada para ponerla en ambas posiciones, aunque siempre es más recomendable ponerla en posición horizontal porque así tiene menos vibraciones. En posición vertical la consola está menos estable y puede tener vibraciones (por ejemplo, cuando instalas un juego si pones el dedo encima de la consola notas las pequeñas vibraciones que tiene) y eso puede llegar a arañar el disco, aunque nunca algo exagerado ni para que de fallos el juego.
Vamos, si tienes que ponerla en vertical por temas de espacio no te preocupes, no pasará nada. Y si puedes elegir y te da igual una u otra, es incluso mejor que esté horizontal. Eso sí, como ya te han dicho no la muevas mientras está funcionando y con un disco dentro que entonces sí que lo puede estropear del todo.