¡Buenas!,
Mi caso fue bastante similar por asi decirlo ya que me case en Junio del 2022 y en Septiembre tuve a mi peque en brazos (
aunque en mi caso ya teníamos planificada la boda y el bebe vino como una sorpresa 
). Asi que te cuento un poco por si te sirve de ayuda ya que tambien hice las cosas "a prisas":
- Al casarte por lo civil puedes decidir si quieres por juzgado o por ayuntamiento. El formulario a rellenar es seleccionar fecha y hora de las que te proponen, adjuntar DNI tanto de los contrayentes como de los testigos y alguna otra cosa mas que te piden para poder reservar el hueco. Luego tuve que ir en presencial al registro unos 3-4 meses antes de la fecha con los testigos para rellenar algo mas de papeleo que nos dieron allí; y ya por ultimo nos confirmaron que todo estaba correcto y cuando quedo 1 mes para la fecha nos enviaron vía e-mail la información del máximo de personas que pueden asistir, con cuanto tiempo de antelación debíamos de estar...etc
En mi caso la solicitud la rellene por internet y la única diferencia que recuerdo entre elegir juzgado o ayuntamiento es que en el juzgado podías seleccionar un sábado mientras que en el ayuntamiento tenia que ser si o si entre semana. Por lo demás juraría que es lo mismo y no se tarda nada, es rapidísimo.
- Como han indicado anteriormente, en el propio hospital se puede realizar el tramite de registrarlo pero hay algunos matices. En mi caso (
Asturias) no vinieron a la habitación pero nos indicaron que en la entrada principal había una sala donde podíamos realizar el tramite; eso si, en horario de L-V y siempre que no pasen mas de 1-2 días del nacimiento del bebe (
si no te toca pedir cita en el registro e ir a realizarlo allí).
En mi caso mi hija nació un Jueves de noche y mi pareja no tenia la documentación necesaria a mano, asi que cuando fue el Sábado con ello se encontró con que estaban cerrados y el Lunes ya le dijeron que al haber pasado varios días ya no se lo gestionaban desde ahí y tenia que ir al registro.
Por otra parte mis hermanas han tenido en el 2021 y en el 2023 hijos sin estar casadas ni siendo pareja de hecho y tampoco han tenido problemas para realizar el tramite. En ambos casos fueron presencialmente con sus parejas al registro y rellenaron los papeles de forma que quedo patente que el bebe es hijo de ambos. Si tienes dudas sobre lo que te pueden pedir lo mejor es que llames por teléfono al registro, pero vamos, que de primeras no hay problemas.
-Sobre lo de mudarse al poco de nacer la criatura lo unico en lo que se me ocurre que te pueda afectar un poco es en el tema de darle de alta en la seguridad social y su tarjeta sanitaria pero no es nada grave, solo puede que algo mas de papeleo. Me explico: Una vez que el bebe nazca y que este registrado tendréis que pedir cita para darle de alta en la seguridad social. El tramite para ello te lo explica muy bien el hospital y como suelen tardar meses en darte cita para ello (en mi caso 2 meses) mientras te dan un papel para que puedan atender al bebe en el centro de salud para las revisiones...etc.
Una vez que el bebe este dado de alta ya tienes que ir al ambulatorio correspondiente e indicarlo en administración para que le asignen un pediatra. Obviamente lo ideal es que si vais a mudaros esto ya ocurra cuando estéis en la nueva ubicación, pero si no tampoco pasa nada, será algo mas de papeleo porque es cambiarlo de ambulatorio pero poco mas.
Espero que te sirva de algo la info, por lo demás felicidades!