De ninguna manera.
Una web que te lo haga, o lo hagas tú, si la web no está diseñada para ser impresa, va a salir de aquella manera y no tienes ningún control. Desde un PC y con algún conocimiento de CSS, aún puedes hacer algo, pero ni aun así.
Si una web no está adaptada a la impresión, y por desgracia son la inmensa mayoría, nunca vas a obtener un buen resultado.
Si desde el ciber estás usando Windows 10 y tiene habilitada la impresora de PDF (también hay programas que habilitan una impresora PDF pero dudo que el ciber no haya puesto restricciones para evitar eso), si la página tiene una opción de impresión, úsala, si no, selecciona el texto que quieres imprimir y dile que imprima la selección en las opciones de impresión, eso evitaría que se impriman cosas como el aviso de cookies. En este segundo caso no hay ninguna garantía de que salga bien, pero ninguna. Usa siempre la vista previa de impresión para comprobarlo.
Y si no, pues sigue usando la web que usas, pero no vas a tener garantías de nada por lo que decía, si la web no está adaptada, y son la inmensa mayoría, no vas a controlar el proceso de impresión. Hay mucho llamado "webmaster" (encargado de las web) que no se molesta lo más mínimo en la parte de impresión de su web. Es uno de esos cánceres de la web, como usar letras gris claro sobre fondo blanco.
