Te explico:
República Presidencialista: No existe diferenciación entre Jefe de Estado y Presidente del Gobierno. Lo normal es que alijan al Presidente de forma directa. Ejemplos: Mexico, USA.
República Parlamentaria: El Presidente de la República es una figura decorativa, muy similar a nuestro Rey, sin atribuciones ejecutivas de ningún tipo. El Presidente de la República es elegido por el Parlamento. Ejemplos: Italia, Alemania. (Si eres capaz de decirme quienes son los Presidentes de la República de estos países, te ganas un gallifante. )
República "mixta": Hay diferencia entre Jefe de Estado y Presidente del Gobierno, pero el Jefe del Estado tiene influencia y competencias ejecutivas y normalmente es elegido por sufragio directo al margen del Parlamento. Ejemplos: Francia, Guinea Ecuatorial.
Espero haberte ayudado.