Efectivamente la batería te la está fundiendo la cobertura, es invisible al usuario pero es lo que más consume del teléfono. Te recomiendo que hagas un reset de ajustes y busques el punto de acceso de tu operador en su web, para poner los ajustes manualmente, sin usar los que coge de la tarjeta automáticamente, a ver que pasa. Es raro que se rompa la antena, y en cualquier caso, por norma general, son antenas diferentes, para GSM y para 3G.